一、用诱导公式,cos2x=1-2sin²x 推出sin²x=1/2-1/2cos2x
sinxcosx=1/2sin2x
所以f(x)=1/2(sin2x-cos2x)+1/2=1/2*√2*sin(2x-45°)+1/2
所以f(x)值域是[-1/2*√2+1/2,1/2*√2+1/2]
f(a)=1/2*√2*sin(2x-45°)+1/2=5/6 所以sin(2x-45°)=√2/3
sin2a=sin(2a-45°+45°)=sin(2x-45°)cos(45°)+cos(2x-45°)sin(45°)
又x属于(0,π/2) 所以2x-45°属于（-π/4,3π/4）但是sin(2x-45°)=√2/3≤√2/2 所以0≤2x-45°≤π/4
所以cos(2x-45°)≥0 所以cos(2x-45°)=√7/3
所以sin2a=sin(2x-45°)cos(45°)+cos(2x-45°)sin(45°)=√2/3*√2/2+√7/3*√2/2=(2+√14)/6
二、这个是恒成立问题,这种问题可以改写题目
任意1＜x＜4都有ax²-2x+2＞0恒成立
恒成立问题有两种改写形式,这里先说第一种“分离变量求最值"
现在ax²-2x+2＞0 变成a>(2x-2)/x² （必须说明x≠0）
因为是要恒成立,所以必须a的最小值>(2x-2)/x²的最大值
也就是现在的问题变成在1＜x＜4时求(2x-2)/x²的最大值
那求上面的最大值可以设函数g(x)=(2x-2)/x²=2/x-2/x²
设1/x=t∈（1/4,1） g(t)=-2t²+2t=-2(t-1/2)²+1/2 当t=1/2是取最大值1/2 所以a>1/2
第二种解法是”二次函数根的分布求法 “
不过要先分类讨论
①a=0时 解得x6 都与a