Question

请教一道数列极限的证明题设a>0,已知数列（Xn)定义如下：Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n

Answer 1

由于X[0]>0,a>0以及X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2,n=0,1,2,...可知{X[n]}是正项数列.

又因为X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2≥2√(X[n]*a/X[n])/2=√a, n=0,1,2,...

此式表明{X[n]}从X[1]以后都大于等于√a, 也就说数列{X[n]}有下界,

对于n≥1,由X[n]≥√a,所以X[n+1]/X[n]=(1+a/X[n]^2)/2≤1,也就是{X[n]}从X[1]以后递减.

单调下降有下界数列必有极限,

所以lim{n-->∞}X[n]存在,设为t

对Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn))两边取极限即得：

t=(t+a/t)/2

解得t=√a.