解题思路:先设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,根据题意写出综合费f(x)关于x的函数解析式,再利用导数研究此函数的单调性,进而得出它的最小值即可.
方法1:导数法
设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,
则f(x)=(560+48x)+
2160×10000
2000x=560+48x+
10800
x(x≥10,x∈Z+)
f′(x)=48−
10800
x2,
令f'(x)=0得x=15
当x>15时,f'(x)>0;当0<x<15时,f'(x)<0
因此当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2000;
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
方法2:(本题也可以使用基本不等式求解)
设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,
则f(x)=(560+48x)+
2160×10000
2000x=560+48x+
10800
x≥560+2
48x•
10800
x=2000,
当且进行48x=
10800
x,即x=15时取等号.
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;实际问题中导数的意义.
考点点评: 本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.