某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(

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  • 解题思路:先设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,根据题意写出综合费f(x)关于x的函数解析式,再利用导数研究此函数的单调性,进而得出它的最小值即可.

    方法1:导数法

    设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,

    则f(x)=(560+48x)+

    2160×10000

    2000x=560+48x+

    10800

    x(x≥10,x∈Z+

    f′(x)=48−

    10800

    x2,

    令f'(x)=0得x=15

    当x>15时,f'(x)>0;当0<x<15时,f'(x)<0

    因此当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2000;

    答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.

    方法2:(本题也可以使用基本不等式求解)

    设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,

    则f(x)=(560+48x)+

    2160×10000

    2000x=560+48x+

    10800

    x≥560+2

    48x•

    10800

    x=2000,

    当且进行48x=

    10800

    x,即x=15时取等号.

    答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;实际问题中导数的意义.

    考点点评: 本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.

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