Question

点P是双曲线x29−y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1上的点，

Answer 1

解题思路：（1）由题意及双曲线的标准方程及双曲线的性质可求其解；

（2）由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，F₁三点共线时使得|PM|-|PN|取最大值．

（1）双曲线

x2

9−

y2

16＝1中a²=9，b²=16．

渐近线方程为y＝±

b

ax，

即y＝±

4

3x．

（2）双曲线的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），

这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，

此时|PM|-|PN|=（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=6+3=9．

|PM|-|PN|的最大值为9．

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．

考点点评： （1）此问重点考查了双曲线的标准方程及双曲线的性质；

（2）此问重点考查了利用几何知识及点P，M，的位置，利用三角形中两边之差小于第三边，进而求出最值．