如何证明尺规作等五边形?要有计算过程

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  • 正五边形的画法]

    (1)已知边长作正五边形的近似画法如下:

    ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.

    ②以K为圆心,取AB的2/3长度为半径向外侧取C点,使CK=2/3AB.

    ③以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.

    ④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.

    (2) 圆内接正五边形的画法如下:

    ①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.

    ② 平分半径ON,得OK=KN.

    ③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.

    ④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

    3.民间口诀画正五边形

    口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."

    作法:

    画法:

    1.画线段AB=20mm,

    2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.

    3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,

    HD=5.9/5*10mm=11.8mm

    4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,

    5.连结DE,EA,EC,BC,CD,

    五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.

    这里提供以下两种作法仅供参考:

    1、已知边长作正五边形的近似画法如下: (1)作线段AB等于定长l,并分别以A、B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. (2)以K为圆心,取AB的2/3长度为半径向外侧取C点,使CH=2/3AB (3)以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M、N. (4)顺次连接A、B、N、C、M各点即近似作得所要求的正五边形.

    2、 圆内接正五边形的画法如下: (1)以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP. (2)平分半径ON,得OK=KN. (3)以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长. (4)以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

    正五边形的另一种尺规准确画法

    1.作线段AB

    2.作线段AB的垂直平分线HI垂足为H(基本作图)

    3.以线段AB为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤)

    (1)以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交直线AB(看清楚,是直线)于点C、D.

    (2)分别以点C、D为圆心,大于二分之一CD长为半径,画弧,两弧交于点E.

    (3)过点E作直线AE,并以点A为端点在直线AE上截取线段AF=AB.

    (4)以点F、B为圆心,线段AB长为半径,画弧,两弧交于点G.

    (5)连结线段FG、BG.则四边形ABGF为正方形.

    4.继续.以点H为圆心,线段HG长为半径,画弧,交射线HC于点J.

    5.分别以点A、J为圆心,线段AB长为半径画弧,两弧交于点K,连结AK BK.

    6.作线段HJ的垂直平分线L.

    7.以点J为圆心,线段AK长为半径,画弧,交直线L于点M

    8.再分别以点A.M为圆心,线段AK长为半径,画弧,两弧交于点N

    连结JM、MN、AN

    五边形AJBMN就是正五边形了!

    ①作⊙O;

    ②作直径AF⊥GH:

    ③分别以F、H为圆心,以AF为半径画弧,两弧交于M点;

    ④连结OM;

    ⑤在⊙O上依次截取弦AB=BC=CD=DE=OM;

    ⑥连结EA.

    则五边形ABCDE即为所求作的正五边形.

    (2)尺规作正五边形的准确方法.

    作法:如图5,

    ①作⊙O;

    ②作直径AF⊥GH;

    ③取OG中点M,连结AM;

    ④以M为圆心,以AM为半径画弧交OH于N,连结AN;

    ⑤在⊙O上依次截取弦AB=BC=CD=DE=AN;

    ⑥连结AE.

    则五边形ABCDE即为所求作的正五边形.

    证明:设⊙O半径为R,

    ∴ON=a10

    连结CF、DF、OC、OD,设OF交CD于P,CD=a5,则CF=FD=a10.

    ∵S10=5SOCFD

    说明:由证明不难看出,此种尺规作正五边形的方法是准确的.但是,因为在圆上连续截取等弦,所以易造成累积误差.