已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,若f′(x)是偶函数且f′(1)=0

1个回答

  • 解题思路:(1)求导函数,利用f'(x)是偶函数,求得b,再利用f′(1)=0,可求a的值,从而可求函数f(x)的解析式;

    (2)求导函数,可求函数在[-2,2]上的最值,对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|,即可求出实数c的最小值;

    (3)设切点,求出切线方程,过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,可得方程

    2

    x

    0

    3

    -6

    x

    0

    2

    +6+m=0

    有三个不同的实数解,即函数g(x)=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点,从而可求实数m取值范围.

    (1)∵f'(x)=3ax2+2bx-3,…(1分)

    根据题意f'(x)是偶函数得b=0…(2分)

    又f'(1)=0,∴3a-3-0,

    ∴a=1 …(3分)

    ∴f(x)=x3-3x.…(4分)

    (2)令f'(x)=3x2-3=0,即3x2-3=0,解得x=±1.…(5分)

    x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2

    f'(x) + 0 - 0 +

    f(x) -2 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0∵f(-1)=2,f(1)=-2,

    ∴当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.…(6分)

    则对于区间x2=-

    a上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,

    所以c≥4.

    所以c的最小值为4.…(8分)

    (3)∵点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上,

    ∴设切点为(x0,y0).则y0=x03-3x0.

    ∵f′(x0)=3x02-3,∴切线的斜率为3x02-3.

    则3x02-3=

    x03-3x0-m

    x0-2,即2x03-6x02+6+m=0.…(10分)

    ∵过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,

    ∴方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解.

    即函数g(x)=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点.…(11分)

    则g'(x)=6x2-12x.

    令g'(x)=0,解得 x=0或x=2.

    x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)

    g'(x) + 0 - 0 +

    g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴

    g(0)>0

    g(2)<0,即

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查导数的几何意义,考查学生分析转化问题的能力,正确转化是关键.