解题思路：根据抛物线经过原点分情况讨论就可以求出抛物线的对称轴，进而求出顶点坐标，再设出顶点式建立方程求出其解即可．
∵OB=4，
∴B（4，0）或B（-4，0）．
当B（4，0）时，且抛物线过原点O，
∴抛物线的对称轴为x=2．
∵抛物线的顶点A在直线y=2x上
∴y=2×2=4，
∴A（2，4）．
设y=a（x-2）2+4，由题意，得
0=a（0-2）2+4，
∴a=-1．
∴y=-（x-2）2+4；
当B（-4，0）时，且抛物线过原点O，
∴抛物线的对称轴为x=-2．
∵抛物线的顶点A在直线y=2x上
∴y=-2×2=-4，
∴A（-2，-4）．
设y=a（x+2）2-4，由题意，得
0=a（0+2）2-4，
∴a=1．
∴y=（x+2）2-4．
∴该抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4或y=（x+2）2-4．
点评：
本题考点： 待定系数法求二次函数解析式．
考点点评： 本题考查了抛物线的对称性的运用，抛物线的顶点式的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出抛物线的顶点坐标是关键．