Question

高数等价替换问题为什么x不能替换成sinx呢?

Answer 1

加减法不能替换的

因为sinx~x+O(x^3)

如果分母是O(x^3)阶的那么这个三阶以上小量就不能舍去的

例如

(sinx-x)/x^3

你如果替换了,答案是0,但是你用洛必达可以发现是-1/6

此题应该使用加一项减一项的手法

=[x^2+f(x)]/(x^2sin^2x)+(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)

=1+(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)

第二个是0/0,洛必达

=1+(2sinxcosx-2x)/(2xsin^2x+2x^2sinxcosx)

=1+(sin2x-2x)/(2xsin^2x+x^2sin2x)

第二个是0/0,洛必达

=1+(2cos2x-2)/(2sin^2x+4xsinxcosx+2xsin2x+2x^2cos2x)

=1+(cos2x-1)/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)

分子等价替换,因为是乘除

=1+(-(2x)^2/2)/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)

=1-x^2/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)

=1-2/[sin^2x/x^2+2sin2x/x+cos2x]

取极限,分母sinx/x->1,sin2x/x->2

=1-2/[1+2*2+1]

=2/3