Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a 1 = 1 2 ，a n +2S n S n-1 =0（n≥2）．

Answer 1

（1）S ₁=a ₁=

1

2 ，∴

1

S 1 =2

当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=-2S _nS _n-1，∴

1

S n -

1

S n-1 =2

∴ {

1

S n } 为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）

（2）由（1）知

1

S n =2+（n-1）×2=2n，∴ S n =

1

2n …（6分）

当n≥2时， a n =-2 S n S n-1 =-2•

1

2n •

1

2(n-1) =-

1

2n(n-1)

∴ a n =

1

2 n=1

-

1

2n(n-1) n≥2，n∈N …（9分）

（3） S 1 2 +…+ S n 2 =

1

4 (

1

1 2 +

1

2 2 +…+

1

n 2 )≤

1

4 (1+

1

1×2 +

1

2×3 +…+

1

(n-1)×n ) =

1

4 (1+1-

1

2 +…+

1

n-1 -

1

n ) =

1

4 (2-

1

n )=

1

2 -

1

4n …（13分）