Question

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）为奇函数．

Answer 1

解题思路：首先，根据函数f（x）=a-

2

2

x

+1

（a∈R）为奇函数．f（0）=0，得到a的取值，

（1）首先，求导数，然后，判断导数值的情况，从而确定单调区间；

（2）根据（1）的结论，然后，结合奇偶性，转化成恒成立问题，然后求解；

（3）构造函数h（x）=xf（x），然后，结合函数的奇偶性进行求解即可．

∵函数f（x）=a-

2

2x+1（a∈R）为奇函数，

∴f（0）=0，∴a=1．

∴f（x）=1-

2

2x+1，

（1）∵f'（x）=

2×2xln2

(2x+1)2＞0，

∴函数在R上为增函数；

（2）∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0，

∴f（2^x+1+4^x）＞-f（k-2）=f（2-k），

∴2^x+1+4^x＞2-k，∴k＞2-（2^x+1+4^x），

∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0对于任意x∈R恒成立，

∴只需k＞[2-（2^x+1+4^x）]_max，

设函数g（x）=2-（2^x+1+4^x）=-（2^x）²-2×2^x+2，

令2^x=t，（t＞0），

∴g（t）=-t²-2t+2=-（t+1）²+3，

∴g（t）＜3，∴k＞3，

∴实数k的取值范围（3，+∞）；

（3）设函数h（x）=xf（x）

∵函数f（x）为奇函数，

∴h（-x）=-xf（-x）=xf（x）=h（x），

∴函数h（x）=xf（x）为偶函数，

当x=0时，h（0）=0．

当x＞0时，

∵2^x+1＞2，

∴0＜

2

2x+1＜1，

∴1-

2

2x+1＞0，

∴xf（x）＞0，

∴当x≥0时，xf（x）≥0，

由函数图象的对称性，知函数xf（x）≥0．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题综合考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题，难度中等，注意函数为奇函数的重要性质．