Question

已知数列{an}的通项an=（n+1）（[10/11]）n（n∈N*）试问数列{an}中是否存在最大项？若存在求出最大项

Answer 1

解题思路：要想判断一个数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列的前n项是递增的，从n+1项开始是递减的，则a_n（a_n+1）即为数列的最大项，故我们可以判断构造a_n+1-a_n的表达式，然后进行分类讨论，给出最终的结论．

∵a_n+1-a_n=（n+2）（[10/11]）ⁿ⁺¹-（n+1）（[10/11]）ⁿ

=（[10/11]）ⁿ•[9−n/11]，

∴当n＜9时，a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；

当n=9时，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；

当n＞9时，a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n；

故a₁＜a₂＜a₃＜＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞…．

∴数列{a_n}有最大项a₉或a₁₀，

其值为10•（[10/11]）⁹，其项数为9或10．

点评：

本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 判断数列的最大（小）项，即判断an+1-an的符号在何处变号，若n＜K时，an+1-an＞0成立，n≥K时，an+1-an＜0成立，则aK即为数列中的最小项；

若n＜K时，an+1-an＜0成立，n≥K时，an+1-an＞0成立，则aK即为数列中的最大项．