Question

已知以点C（t，[2/t]）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

Answer 1

解题思路：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．

（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．

（1）∵圆C过原点O，

∴OC²=t²+[4

t2，

则圆C的方程是（x-t）²+（y-

2/t]）²=t²+[4

t2，

令x=0，得y₁=0，y₂=

4/t]，

令y=0，得x₁=0，x₂=2t

∴S_△OAB=[1/2]OA×OB=[1/2]×|[4/t]|×|2t|=4，

即：△OAB的面积为定值；

（2）∵OM=ON，CM=CN，

∴OC垂直平分线段MN，

∵k_MN=-2，∴k_oc=[1/2]，

∴直线OC的方程是y=[1/2]x，

∴[2/t]=[1/2]t，解得：t=2或t=-2，

当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=

5，

此时C到直线y=-2x+4的距离d=

1

5＜

5，

圆C与直线y=-2x+4相交于两点，

当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=

5，

此时C到直线y=-2x+4的距离d=

9

点评：

本题考点： 圆的一般方程；圆的标准方程．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．