Question

若(2x+1/x)^2n的展开式中含1/x^2项的系数与含1/x^4的系数之比为5,则n等于

Answer 1

(2x+1/x)^2n的展开式中每一项为 C(2n,k)(2x)^k*/x^(2n-k)=C(2n,k)*2^k* x^(2k-2n)

故1/x^2项的系数为当2k-2n=-2时,即k=n-1时取得,为C(2n,n-1) *2^(n-1)

1/x^4项的系数为当2k-2n=-4时,即k=n-2时取得,为C(2n,n-2)*2^(n-2)

两者的比为5,则有：(2n)!/(n-1)!(n+1)!/[(2n)!/(n-2)!(n+2)!]*2=5

(n-2)!(n+2)!/(n-1)!(n+1)!=5/2

(n+2)/(n-1)=5/2

2n+4=5n-5

3n=9

n=3