Question

（2014•茂名二模）设数列{an}满足an=2an-1+n（n≥2且n∈N*），{an}的前n项和为Sn，数列{bn}

Answer 1

解题思路：（1）由数列递推式结合首项逐一求出a₂，a₃，a₄，则S₄可求；

（2）由b_n=a_n+n+2得到b_n+1=a_n+1+（n+1）+2，结合a_n+1=2a_n+（n+1）得到b_n+1=2b_n，然后分a₁=-3和a₁≠-3讨论得答案；

（3）当a₁=-3时，求出数列{a_n}的前n项和，利用作差法证明S_m+S_n≤2S_p．然后利用放缩法证明0＜S_mS_n≤Sp2

，再结合S_m+S_n≤2S_p＜0可证得

1

S

m

+

1

S

n

≤

2

S

p

．

（1）∵a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），且a₁=1，

∴a₂=2×1+2=4，a₃=2×4+3=11，a₄=2×11+4=26．

∴S₄=42；

（2）∵b_n=a_n+n+2，

∴b_n+1=a_n+1+（n+1）+2=2a_n+（n+1）+（n+1）+2=2（a_n+n+2）=2b_n．

又∵b₁=a₁+3，

∴当a₁=-3时，b₁=0，此时{b_n}不是等比数列，

当a₁≠-3时，b₁≠0，则

bn+1

bn＝2 (n∈N*)．

故当a₁≠-3时，数列{b_n}是以a₁+3为首项，2为公比的等比数列；

（3）

1

Sm+

1

Sn≤

2

Sp．

事实上，由（2）知，当a₁=-3时，b₁=0，则a_n=-n-2．

∴{a_n}是以-3为首项，-1为公差的等差数列，

∴Sn＝−

1/2n(n+5)．

∵m，n，p∈N^*，且m+n=2p，

Sm+Sn−2Sp＝p(p+5)−

1

2m(m+5)−

1

2n(n+5)

=

1

4[(2p)2−2m2−2n2]+

5

2(2p−m−n)

=

1

4[(m+n)2−2m2−2n2]＝−

1

4(m−n)2≤0，

∴S_m+S_n≤2S_p

又SmSn＝

mn(m+5)(n+5)

4＝

mn[mn+5(m+n)+25]

4]

≤

(

m+n

2)2[(

m+n

2)2+10•(

m+n

2)+52]

4=

p2(p2+10p+25)

4＝[

p(p+5)

2]2＝Sp2．

∵0＜S_mS_n≤Sp

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定及等差数列前n项和的求法，训练了利用作差法和放缩法证明不等式，是难度较大的题目．