Question

如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=AD=1，AA 1 =2，M是棱CC 1 的中点，

Answer 1

(Ⅰ)因为C ₁D ₁∥B ₁A ₁，所以∠MA ₁B ₁为异面直线A ₁M与C ₁D ₁所成的角，

因为A ₁B ₁⊥平面BCC ₁B，所以∠A ₁B ₁M=90°，

而

，

故

，

即异面直线A ₁M和C ₁D ₁所成的角的正切值为

。

(Ⅱ)证明：由A ₁B ₁⊥平面BCC ₁B ₁，BM

平面BCC ₁B ₁，得A ₁B ₁⊥BM， ①

由(Ⅰ)知，

，

又

，

所以B ₁M ²+BM ²=B ₁B ²，从而BM⊥B ₁M，

又A ₁B ₁∩B ₁M=B ₁，再由①，②得BM⊥平面A ₁B ₁M，

而BM

平面ABM，

因此平面ABM⊥平面A ₁B ₁M．