Question

己知数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n （n∈N*），

Answer 1

解题思路：（I）由a_n+1=

2

n+1

a

n

a

n

+

2

n

（n∈N^*）变形两边取倒数即可得出；

（II）由（I）利用等差数列的通项公式即可得出；

（III）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n （n∈N^*），

∴

2n+1

an+1＝

2n

an+1，即

2n+1

an+1−

2n

an＝1，

∴数列{

2n

an}是公差为1的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

2n

an＝

2

a1+n−1=n+1，

∴an＝

2n

n+1．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，

∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，

2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，

两式相减得：-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n−1)

2−1-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，

∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．