Question

求y''+y=sin2x,y(π)=y'(π)=1的特解

Answer 1

y''+y=sin2x, y(π)=y'(π)=1

特征方程 r^2+1=0, 特征根 r=±i,

故设特解 y=asin2x+bcos2x, 则 y'=2acos2x-2bsin2x,

y''= -4asin2x-4bcos2x, 代入微分方程,得

a=-1/3, b=0, 特解是 y=-(1/3)sin2x,

微分方程的通解是 y=Asinx+Bcosx-(1/3)sin2x,

则 y'= Acosx-Bsinx-(2/3)cos2x,

将初始条件 y(π)=y'(π)=1 代入,得 A=-5/3, B=-1,

则满足初始条件的特解是 y=(-5/3)sinx-cosx-(1/3)sin2x.