y''+4y'+3y=e^-t
特征方程
r^2+4r+3=0
(r+3)(r+1)=0
r=-3,r=-1
齐次通解为
y=C1e^(-3x)+C2e^(-x)
由于特解包含在通解里,所以设特解为y=axe^(-x)
y'=ae^(-x)-axe^(-x)
y''=-ae^(-x)-ae^(-x)+axe^(-x)=-2ae^(-x)+axe^(-x)
代入方程得
-2ae^(-x)+axe^(-x)+4(ae^(-x)-axe^(-x))+3axe^(-x)=e^(-x)
整理得
2a=1,a=1/2
所以特解是y=1/2xe^(-x)
非齐次的通解为
y=C1e^(-3x)+C2e^(-x)+1/2xe^(-x)
y(0)=1代入得
1=C1+C2 (1)
y'=-3C1e^(-3x)-C2e^(-x)+1/2e^(-x)-1/2xe^(-x)
y'(0)=0代入得
1=-3C1-C2+1/2 (2)
由(1)(2)得
C1=-3/4,C2=7/4
所以满足条件y(0)=y'(0)=1的解是
y=-3/4e^(-3x)+7/4e^(-x)+1/2xe^(-x)