（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1,0）、C（3,0）,
∴
a-b+3=09a+3b+3=0
,解得a=-1,b=2,
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
(2）在直角梯形EFGH运动的过程中：
①四边形MOHE构成矩形的情形,如答图1所示：
此时边GH落在x轴上时,点G与点D重合．
由题意可知,EH,MO均与x轴垂直,且EH=MO=1,则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．
过点F作FN⊥x轴于点N,则有FN=EH=1,FN∥y轴,
∴FN/OA=DN/OD,即1/3=DN/4,解得DN=4/3
在Rt△DFN中,由勾股定理得：DF=5/3,∴t=5/3
②四边形MOHE构成正方形的情形．
由答图1可知,OH=OD-DN-HN=4-4/3-1=5/3,即OH≠MO,
所以此种情形不存在；
③四边形MOHE构成菱形的情形,如答图2所示：
过点F作FN⊥x轴于点N,交GH于点T,过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN∥y轴,RN=EF=FT=1,HR=TN．
设HR=x,则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；
∵FN∥y轴,∴FN/ON=DN/OD,即1+x/3=DN/4,解得DN=4/3(1+X）
∴OR=OD-RN-DN=4-1-4/3（1+x)=5/3-4/3X
若四边形MOHE构成菱形,则OH=EH=1,