解题思路:由于A*是A的伴随矩阵,想到利用伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E,而A*=A′时,因此得到AA′=|A|E,这样将证明|A|≠0转化为AA′≠0.
∵AA*=A*A=|A|E,而A*=A′,
∴AA′=|A|E,
设:A=(aij),AA′=(cij),
则:cii=(ai1,ai2,…,ain)
ai1
ai2
…
ain=ai12+ai22+…+ain2,
而A为n阶非零方阵,因而至少存在一个aij≠0,
则:cii>0,
根据AA′=|A|E,知AA′的第i行第i列元素等于|A|,
∴|A|=cii>0,
故:|A|≠0,证毕.
点评:
本题考点: 伴随矩阵的性质;用伴随矩阵求逆矩阵.
考点点评: 题目中有伴随矩阵,要立刻想起伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E,A*=|A|A-1.