设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A′是A的转置矩阵,当A*=A′时,证明|A|≠0.

1个回答

  • 解题思路:由于A*是A的伴随矩阵,想到利用伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E,而A*=A′时,因此得到AA′=|A|E,这样将证明|A|≠0转化为AA′≠0.

    ∵AA*=A*A=|A|E,而A*=A′,

    ∴AA′=|A|E,

    设:A=(aij),AA′=(cij),

    则:cii=(ai1,ai2,…,ain)

    ai1

    ai2

    ain=ai12+ai22+…+ain2,

    而A为n阶非零方阵,因而至少存在一个aij≠0,

    则:cii>0,

    根据AA′=|A|E,知AA′的第i行第i列元素等于|A|,

    ∴|A|=cii>0,

    故:|A|≠0,证毕.

    点评:

    本题考点: 伴随矩阵的性质;用伴随矩阵求逆矩阵.

    考点点评: 题目中有伴随矩阵,要立刻想起伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E,A*=|A|A-1.