Question

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A′是A的转置矩阵，当A*=A′时，证明|A|≠0．

Answer 1

解题思路：由于A^*是A的伴随矩阵，想到利用伴随矩阵的性质AA^*=A^*A=|A|E，而A^*=A′时，因此得到AA′=|A|E，这样将证明|A|≠0转化为AA′≠0．

∵AA^*=A^*A=|A|E，而A^*=A′，

∴AA′=|A|E，

设：A=（a_ij），AA′=（c_ij），

则：cii＝(ai1，ai2，…，ain)

ai1

ai2

…

ain=ai12+ai22+…+ain2，

而A为n阶非零方阵，因而至少存在一个a_ij≠0，

则：c_ii＞0，

根据AA′=|A|E，知AA′的第i行第i列元素等于|A|，

∴|A|=c_ii＞0，

故：|A|≠0，证毕．

点评：

本题考点： 伴随矩阵的性质；用伴随矩阵求逆矩阵．

考点点评： 题目中有伴随矩阵，要立刻想起伴随矩阵的性质AA*=A*A=|A|E，A*=|A|A-1．