如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=AB=2,BC=3,E,F分别是AD,BC上的两点,且AE=BF=1

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  • (Ⅰ)证明:∵E、F分别是AD,BC上的两点,

    AE=BF=1,

    ∴四边形ABEF为矩形,

    ∴折叠后EF⊥FC,EF⊥BF,

    即EF⊥平面BFC,连接GF,

    ∵AE=1,BF=1,AB=2,∴∠EGF=90°,

    由已知得EG⊥GC,

    ∴EG⊥平面CFG.…(6分)

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知FC⊥EG,

    ∵FC⊥EF,

    ∴FC⊥平面ABFE,

    ∴FC⊥BF,…(7分)

    如图建系F-xyz,则A(1,0,2)C(0,2,0)D(0,1,2)

    n1=(x,y,z)为平面ACD的法向量,

    AD=(?1,1,0),

    CD=(0,?1,2),

    ?x+y=0

    ?y+2z=0,得

    y=x

    y=2z.则令z=1,得

    n 1=(2,2,0),…(9分)

    n2=(1,0,0)为平面CDEF的法向量,

    设二面角A-CD-E为θ,

    则cos<

    n1,

    n2>=

    2

    4+4+1=[2/3],即cosθ=[2/3].…(12分)