(2014•陕西二模)正四面体ABCD边长为2.E,F分别为AC,BD中点.

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  • 解题思路:(Ⅰ)连结AF,EF,由已知条件推导出EF⊥AC,DE⊥AC,由此能够证明AC⊥平面EFD.

    (Ⅱ)设底面中心为O,以OC,OD,OA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角E-FD-C的余弦值.

    (Ⅰ)证明:连结AF,EF,

    ∵ABCD是正四面体,E,F分别为AC,BD中点

    ∴AF=CF,AD=CD,

    ∴EF⊥AC,DE⊥AC,

    ∵EF∩DE=E,∴AC⊥平面EFD.

    (Ⅱ)设底面中心为O,以OC,OD,OA分别为x,y,z轴,

    建立空间直角坐标系.

    ∵正四面体ABCD边长为2,

    ∴OF=

    1

    3CF=

    3

    3,OA=

    (

    3)2−(

    3

    3)2=

    2

    6

    3,

    C(

    2

    3

    3,0,0),A(0,0,

    2

    6

    3),

    由题意平面DFC的法向量为

    点评:

    本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.