解题思路:(Ⅰ)连结AF,EF,由已知条件推导出EF⊥AC,DE⊥AC,由此能够证明AC⊥平面EFD.
(Ⅱ)设底面中心为O,以OC,OD,OA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角E-FD-C的余弦值.
(Ⅰ)证明:连结AF,EF,
∵ABCD是正四面体,E,F分别为AC,BD中点
∴AF=CF,AD=CD,
∴EF⊥AC,DE⊥AC,
∵EF∩DE=E,∴AC⊥平面EFD.
(Ⅱ)设底面中心为O,以OC,OD,OA分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系.
∵正四面体ABCD边长为2,
∴OF=
1
3CF=
3
3,OA=
(
3)2−(
3
3)2=
2
6
3,
C(
2
3
3,0,0),A(0,0,
2
6
3),
由题意平面DFC的法向量为
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.