Question

已知双曲线中心在原点,焦点在x轴上,过左焦点F1作倾斜角为30°的直线l,交双曲线于A,B两点,F2为双曲线的右焦点,且

Answer 1

（Ⅰ）由已知∠AF1F2＝30°,∠AF2F1＝90°.

在Rt△AF2F1中,AF2=2根号3/3 c ,AF1= 4根号3/3 c

因为|AF1|－|AF2|＝2a,所以4根号3/3 c- 2根号3/3 c=2a,即a=根号3/3 c,

所以 e=根号3

（Ⅱ）因为c =根号3 a,所以b2=2a2,从而双曲线方程化为x2/a2- y2/2a2=1,

即 2x2- y2=2a2

因为左焦点为F1(- 根号3 a,0),则直线l的方程为y =根号3/3(x+根号3 a).代人双曲线方程,得2x2-1/3 (x+根号3 a)^2=2a2,即 5x2-2根号3 a x- 9a^2= 0

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2根号3/5 a,x1*x2 = - 9/5 a^2

所以|AB|=根号（1+ k^2）|X1- X2|=2/根号3 * 根号[(x1+x2)^2- 4 x1*x2]=16/5 a

.

因为|AB|＝16,所以a＝5,从而b2=50.故双曲线方程是x2/25- y2/50=1.