如图,直线l:y=[3/4]x+6交x、y轴分别为A、B两点,C点与A点关于y轴对称.动点P、Q分别在线段AC、AB上(

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  • 解题思路:(1)把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式,求出A、B的坐标,根据勾股定理求出BC即可.

    (2)求出∠PAQ=∠BCP,∠AQP=∠BPC,根据点的坐标求出AP=BC,根据全等三角形的判定推出即可.

    (3)分为三种情况:①PQ=BP,②BQ=QP,③BQ=BP,根据(2)即可推出①,根据三角形外角性质即可判断②,根据勾股定理得出方程,即可求出③.

    (1)∵y=[3/4]x+6

    ∴当x=0时,y=6,

    当y=0时,x=-8,

    即A的坐标是(-8,0),B的坐标是(0,6),

    ∵C点与A点关于y轴对称,

    ∴C的坐标是(8,0),

    ∴OA=8,OC=8,OB=6,

    由勾股定理得:BC=

    62+82=10,

    故答案为:(-8,0),10.

    (2)当P的坐标是(2,0)时,△APQ≌△CBP,

    理由是:∵OA=8,P(2,0),

    ∴AP=8+2=10=BP,

    ∵∠BPQ=∠BAO,∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°,∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°,

    ∴∠AQP=∠BPC,

    ∵A和C关于y轴对称,

    ∴∠BAO=∠BCP,

    在△APQ和△CBP中,

    ∠AQP=∠BPC

    ∠BAO=∠BCP

    AP=BC,

    ∴△APQ≌△CBP(AAS),

    ∴当P的坐标是(2,0)时,△APQ≌△CBP.

    (3)分为三种情况:

    ①当PB=PQ时,∵由(2)知,△APQ≌△CBP,

    ∴PB=PQ,

    即此时P的坐标是(2,0);

    ②当BQ=BP时,则∠BPQ=∠BQP,

    ∵∠BAO=∠BPQ,

    ∴∠BAO=∠BQP,

    而根据三角形的外角性质得:∠BQP>∠BAO,

    ∴此种情况不存在;

    ③当QB=QP时,则∠BPQ=∠QBP=∠BAO,

    即BP=AP,

    设此时P的坐标是(x,0),

    ∵在Rt△OBP中,由勾股定理得:BP2=OP2+OB2

    ∴(x+8)2=x2+62

    解得:x=-[7/4],

    即此时P的坐标是(-[7/4],0).

    ∴当△PQB为等腰三角形时,点P的坐标是(2,0)或(-[7/4],0).

    点评:

    本题考点: 一次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,题目综合性比较强,难度偏大.