Question

已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列的定义，可得a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，从而可得数列的公差，即可求数列{a_n}的通项公式．

（2）利用等比数列的定义，确定数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，即可求数列{a_n}的前n项和A_n公式．

（1）因为对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，

所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n）．

所以a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4．

所以a_n=1+（n-1）×4=4n-3．（5分）

（2）若对于任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，

则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n）．

所以C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），

即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．

当n=1时，由B（1）=qA（1），可得a₂=qa₁，

所以a_n+2-qa_n+1=0．因为a_n＞0，

所以

an+2

an+1＝

a2

a1＝q．--（9分）

即数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，则An＝

n，q＝1

1−qn

1−q，q≠1（12分）

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的应用，考查等差数列、等比数列的定义、通项与求和，属于中档题．