解题思路:(1)任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,可求得
f(
x
1
)−f(
x
2
)=
3(
x
1
−
x
2
)
(
x
1
+2)(
x
2
+2)
,结合条件,判断其符号,即可证明其单调性;
(2)根据(1)判断的函数的单调性即可求得函数f(x)的最大值和最小值.
证明:(1)设任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2f(x1)−f(x2)=
x1−1
x1+2−
x2−1
x2+2=
3(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)
∵3≤x1<x2≤5∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0
∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)由(1)知,f(x)在[3,5]上为增函数,则f(x)max=f(5)=
4
7,f(x)min=f(3)=
2
5.
点评:
本题考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查函数单调性的性质,重点考查定义法判断函数的单调性与最值,属于中档题.