已知函数f(x)=x−1x+2 , x∈[3,5],

3个回答

  • 解题思路:(1)任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,可求得

    f(

    x

    1

    )−f(

    x

    2

    )=

    3(

    x

    1

    x

    2

    )

    (

    x

    1

    +2)(

    x

    2

    +2)

    ,结合条件,判断其符号,即可证明其单调性;

    (2)根据(1)判断的函数的单调性即可求得函数f(x)的最大值和最小值.

    证明:(1)设任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2f(x1)−f(x2)=

    x1−1

    x1+2−

    x2−1

    x2+2=

    3(x1−x2)

    (x1+2)(x2+2)

    ∵3≤x1<x2≤5∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0

    ∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)在[3,5]上为增函数.

    (2)由(1)知,f(x)在[3,5]上为增函数,则f(x)max=f(5)=

    4

    7,f(x)min=f(3)=

    2

    5.

    点评:

    本题考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.

    考点点评: 本题考查函数单调性的性质,重点考查定义法判断函数的单调性与最值,属于中档题.