Question

已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，y B ）（如图1）；

Answer 1

（1）y _B=5=半径；

1

2 x _Cy _C=

3

8 x _C ²，x _C ²+y ² _C=25，

得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a ₀x ²+h ₀
即为y=-

2

7 x ²+

53

7 ，得h ₀=

53

7 ．

过P ₁（p+1，3）、Q ₁（p，5）的抛物线y=a ₁x ²+h ₁

为y=-

2

2p+1 •x ²+

2 p 2 +10p+5

2p+1 ，

h ₁=

2 p 2 +10p+5

2p+1 ．

h ₀-h ₁=

53

7 -

2 p 2 +10p+5

2p+1

=

-2(7p+3)(p-3)

7(2p+1) =

2(7p+3)(3-p)

7(2p+1) ，

∵MQ＞M ₁Q ₁，其中MQ=6，

∴0≤p=

1

2 M ₁Q ₁＜3，可知0≤p＜3；

∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，

因而得到h ₀-h ₁＞0，证得h ₀＞h ₁．

或者说明2p+1＞0，-14p ²+36p+18在0≤p＜3时总是大于0，

得到h ₀-h ₁＞0．

②显然抛物线y=ax ²+bx+c的开口方向向下，a＜0．

当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴y _K≥5；

将过点T、B、C三点的抛物线y=ax ²+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时y _K不变．

则由上述①的结论，

当T在FB上运动时，过F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，

∴y _K≤

53

7 ，

∴5≤y _K≤

53

7 ．