Question

如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺

Answer 1

解题思路：（1）由A₁D₁分别是△ABD的中位线，B₁C₁是△CBD的中位线知，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=[1/2]BD，故四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁知，四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=[1/2]BD=4，B₁A₁=[1/2]AC=3，故矩形A₁B₁C₁D₁的面积为12，可以得到故四边形A₂B₂C₂D₂的面积是A₁B₁C₁D₁的面积的一半，为6；

（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为

24×

1

2

n

；

（4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A₅B₅C₅D₅的边长，再求得它的周长．

（1）证明：∵点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，

∴A₁D₁是△ABD的中位线

∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=[1/2]BD，

同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=[1/2]BD

∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=[1/2]BD

∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形．

∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，

∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°

∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=[1/2]BD=4，B₁A₁=[1/2]AC=3，

得：四边形A₁B₁C₁D₁的面积为12；四边形A₂B₂C₂D₂的面积为6；

（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为24×

1

2n；

（4）方法一：由（1）得矩形A₁B₁C₁D₁的长为4，宽为3．

∵矩形A₅B₅C₅D₅∽矩形A₁B₁C₁D₁

∴可设矩形A₅B₅C₅D₅的长为4x，宽为3x，则4x•3x＝

1

25×24，

解得x＝

1

4

∴4x＝1，3x＝

3

4

∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=2•(1+

3

4)＝

7

2

方法二：矩形A₅B₅C₅D₅的面积/矩形A₁B₁C₁D₁的面积

=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²/（矩形A₁B₁C₁D₁的周长）²

即[3/4]：12=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²：14²

∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=

3

4×

1

12×142＝

7

2．

点评：

本题考点： 矩形的判定；三角形中位线定理．

考点点评： 本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．