Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3

Answer 1

解题思路：（1）利用待定系数即可求得函数的解析式；

（2）分别利用当MN∥AB时，当AM∥BN″时，利用梯形的判定一组对边平行不相等的四边形是梯形进而求出即可；

（3）在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，求得直线EI的解析式，即可求解．

（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，

将点B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0

解得：a=-1，

∴解析式为：y=-（x-1）²+4；

（2）如图2，当MN∥AB时，

∵0=-（x-1）²+4；

∴x₁=-1，x₂=3，

∴AB=4，

∵M（0，-1），

∴-1=-（x-1）²+4，

解得：x₁=1+

5，x₂=1-

5，

∴MN=

5-1≠AB，MN′=1+

5≠AB，

∴此时四边形ANMB是梯形，四边形AMN′B是梯形，N（1-

5，-1），N′（-1-

5，-1），

当AM∥BN″时，

∵A（-1，0），M（0，-1），设直线AM的解析式为y=kx+b，

则

b＝−1

−k+b＝0

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法和梯形的判定等知识点，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法求出是解题关键．