解题思路：（1）先求出f′（x）=[a/x]-
2a
2
x
2
+1，（x＞0），由题意得：f′（1）=-2，解方程求出即可；
（2）求出f′（x）=
(x−a)(x+2a)
x
2
，（x＞0），讨论①a＞0时，②a＜0时的情况，从而求出函数的单调区间；
（3）由（2）得，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值为f（-2a），故g（a）=f（-2a），得g′（a）=ln（-2a）-2，得g（a）在（-∞，-[1/2]e2）递增，在（-[1/2]e2，0）递减，从而g（a）最大值=[1/2]e2，进而求出g（a）的最大值．
（1）∵f′（x）=[a/x]-
2a2
x2+1，（x＞0），
由题意得：f′（1）=-2，即2a2-a-3=0，
解得：a=-1或a=[3/2]，
（2）f′（x）=
(x−a)(x+2a)
x2，（x＞0），
①a＞0时，由f′（x）＞0及x＞0得x＞a，
由f′（x）＜0及x＞0得0＜x＜a，
∴a＞0时，f（x）在（a，+∞）递增，在（0，a）递减，
②a＜0时，由f′（x）＞0及x＞0得x＞-2a，
由f′（x）＜0及x＞0得0＜x＜-2a，
∴a＜0时，f（x）在（0，-2a）递减，在（-2a，+∞）递增；
（3）由（2）得，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值为f（-2a），
故g（a）=f（-2a）=aln（-2a）=aln（-2a）-3a，
g′（a）=ln（-2a）-2，
令g′（a）＞0，解得a＜-[1/2]e2，
令g′（a）＜0，解得：-[1/2]e2＜a＜0，
∴g（a）在（-∞，-[1/2]e2）递增，在（-[1/2]e2，0）递减，
∴g（a）最大值=[1/2]e2，
即a∈（-∞，0）时，g（a）≤[1/2]e2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．