Question

已知函数 f(x)=lo g a 2m-1-mx x+1 (a＞0，a≠1) 是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的

Answer 1

解（1）∵y=f（x）是奇函数，

∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即 lo g a

2m-1-mx

1+x +lo g a

2m-1+mx

1-x =0 ．

化简此式，得（m ²-1）x ²-（2m-1） ²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），

必有

m 2 -1=0

(2m-1 ) 2 -1=0 ，解得m=1．

∴ f(x)=lo g a

1-x

1+x ，D=(-1，1) ．

（2）当0＜a＜1时，函数 f(x)=lo g a

1-x

1+x 在D=(-1，1) 上是单调增函数．

理由：令 t=

1-x

1+x =-1+

2

1+x ．

易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，

2

1+x 在D=（-1，1）上是随x增大而减小，

故 t=

1-x

1+x =-1+

2

1+x 在D=（-1，1）上是随x增大而减小

于是，当0＜a＜1时，函数 f(x)=lo g a

1-x

1+x 在D=(-1，1) 上是单调增函数．

（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）

∴0＜a＜1，a＜b≤1．

∴由（2）知，函数 f(x)=lo g a

1-x

1+x 在A 上是增函数，即 f(a)=1，lo g a

1-a

1+a =1 ，

解得 a=

2 -1(舍去a=-

2 -1) ．

若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为 [1，lo g a

1-b

1+b ) ，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，

∴必有b=1．

因此，所求实数a、b的值是 a=

2 -1、b=1 ．