Question

已知下列四个命题；①函数g(x)＝1+22x−1是奇函数；②函数f（x）=log2x满足：对于任意x1，x2∈R，且x1

Answer 1

解题思路：①利用g（-x）+g（x）=0可判断其奇偶性；

②作出f（x）=log₂x的图象，数形结合即可判断②的正误；

③易知f（x）是以4为周期的函数，结合题意可求得f（7）=-2；

④x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根⇒log_ax₁=-log_ax₂，进一步整理可得x₁x₂=1，从而可知④的正误．

①，∵g（-x）+g（x）

=（1+[2

2−x−1）+（1+

2

2x−1）

=2+

2•2x

1−2x+

2

2x−1

=

2(2x−1)+2

1−2x+

2

2x−1+2

=-2+

2

1−2x+

2

2x−1+2

=0，

∴g（-x）=-g（x），即①正确；

②，作出f（x）=log₂x的图象，

由图知，曲线上点P（其横坐标为

x1+x2/2]）的纵坐标大于线段P₁P₂的中点A的纵坐标，即f（

x1+x2

2）＞[1/2][f（x₁）+f（x₂）]，②正确；

③，∵f（x-1）=-f（x+1），令t=x-1，

则f（t+2）=-f（t），即f（t+4）=f（t），

∴f（x+4）=f（x），

∴f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=2，f（x-1）=-f（x+1），

∴f（7）=f（3）=-f（2-1）=-f（1）=-2，即③正确；

④，∵x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，

∴log_ax₁=-log_ax₂=loga

1

x2，

∴x₁=

1

x2，即x₁x₂=1，故④正确；

综上所述，正确的命题的序号是①②③④，

故答案为：①②③④．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、单调性、周期性及函数图象的应用，考查分析与应用能力，属于难题．