1.∵(x²y-y)y'+xy²+x=0 ==>(x²y-y)dy+(xy²+x)dx=0
==>(x²ydy+xy²dx)+(xdx-ydy)=0
==>(x²d(y²)+y²d(x²))+(d(x²)-d(y²))=0
==>d(x²y²)+d(x²-y²)=0
==>d(x²y²+x²-y²)=0
∴x²y²+x²-y²=C (C是积分常数)
∵y(0)=1 ==>C=-1
∴满足条件的特解是x²y²+x²-y²+1=0；
2.∵齐次方程y''-4y'+4y=0的特征方程是r²-4r+4=0,则r1=r2=2
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(2x) (C1,C2是积分常数)
∵设原微分方程的特解为 y=(Ax²+Bx+C)e^(2x)
代入原方程可求得 A=1/2,B=C=0
∴原微分方程的一个特解是y=x²e^(2x)/2
故原微分方程的通解是 y=(C1x+C2)e^(2x)+x²e^(2x)/2
=(x²/2+C1x+C2)e^(2x) (C1,C2是积分常数)；
3.原式=∫xd(f'(x))
=xf'(x)-∫f'(x)dx (应用分部积分法)
=xf'(x)-f(x)+C (C是积分常数)；
4.设所求曲线方程为y
∵此曲线在每一点的切线斜率都等于3x
∴y'=3x ==>y=3x²/2+C (C是积分常数)
∵此曲线经过点(2,0)
∴0=6+C ==>C=-6
故所求曲线方程是 y=3x²/2-6.