已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P,Q两点,若OP⊥OQ(O为坐标原点),则m=___

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  • 解题思路:由已知中,圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P,Q两点,使用“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法,结合OP⊥OQ,我们可以构造一个关于m的方程,解方程即可求出满足条件的m的值.

    联立直线与圆方程得到:

    (2y-3)2-(2y-3)+y2-6y+m=0

    整理得:5y2-20y+(m+12)=0

    则:y1+y2=4,y1•y2=[m+12/5]

    ∴x1•x2=(-2y1+3)•(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4•[m+12/5]-15

    已知OP⊥OQ

    则,Kop*Koq=-1

    即:y1•y2+x1•x2=0

    ∴[m+12/5]+4•[m+12/5]-15=0

    即m+12-15=0

    ∴m=3

    故答案为:3

    点评:

    本题考点: 直线与圆相交的性质.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,其中“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法,是解答直线与圆锥曲线(包括圆)位置关系中,最常用的方法,一定要熟练掌握.