Question

（文）数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n =2a n -1．

Answer 1

（1）∵S _n=2a _n-1，

∴S _n+1=2a _n+1-1，

∴a _n+1=2a _n+1-2a _n

即a _n+1=2a _n，

∵a ₁=1，

∴{a _n}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴a _n=2 ^n-1；

（2）T _n=1×2 ⁰+2×2 ¹+3×2 ²+…+n×2 ^n-1①，

2T _n=1×2 ¹+2×2 ²+…+（n-1）×2 ^n-1+n×2 ⁿ②，

①-②得：-T _n=（2 ⁰+2 ¹+2 ²+…+2 ^n-1）-n×2 ⁿ

=2 ⁿ-1-n×2 ⁿ

=-（n-1）2 ⁿ-1，

∴T _n=（n-1）×2 ⁿ+1．