已知:α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求证:α+2β=π2.

2个回答

  • 解题思路:欲证:

    α+2β=

    π

    2

    .往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明,利用题中的两个关系,我们先求sin(α+2β)的值即可解决问题.

    由3sin2α+2sin2β=1,得:3sin2α=cos2β.

    由3sin2α−2sin2β=0,得:sin2β=

    3

    2sin2α=3sinαcosα.

    ∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α

    ∴9sin2α=1.

    ∴sinα=[1/3](α为锐角)

    ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(3sin2α)+cosα(3sinαcosα)

    =3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα=1

    ∴α+2β=

    π

    2.

    点评:

    本题考点: 同角三角函数基本关系的运用.

    考点点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式,证明的关键是求出sin(α+2β),是一道三角变换的中档题.