已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单

3个回答

  • (1)、证明:连接CO,则:CO⊥AB ∠BCO=∠A=45° CO=AO=1/2AB

    在△AOP和△COQ中

    AP=CQ

    ∠A=∠BCO

    AO=CO

    ∴△AOP≌△COQ (SAS)

    ∴OP=OQ

    ∠AOP=∠COQ

    ∴∠POQ=∠COQ+∠COP

    =∠AOP+∠COP

    =∠AOC

    =90°

    ∴△ POQ是等腰直角三角形

    (2)、S=1/2CQ×CP

    =1/2×t(4-t)

    =1/2t²+2t

    =-1/2(t-2)²+2

    当t=2时,S取得最大值,最大值S=2

    (3)、四边形PEQC是矩形

    证明:连接OD

    ∵点D是PQ中点

    ∴CD=PD=DQ=1/2PQ

    OD=PD=DQ=1/2PQ

    ∴CD=OD

    ∠DCO=∠DOC

    ∠CEO+∠DCO=90°

    ∠DOE+∠DOC=90°

    ∴∠CEO=∠DOE

    ∴DE=DO

    ∴DE=CD

    ∵PD=DQ

    ∴四边形PEQC是平行四边形

    又∠ACB=90°

    ∴四边形PEQC是矩形

    (4)、由DO=DC可知:点D在线段OC的垂直平分线上,其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

    点D运动的路径长=1/2AB=2√2