Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单

Answer 1

(1)、证明：连接CO,则：CO⊥AB ∠BCO=∠A=45° CO=AO=1/2AB

在△AOP和△COQ中

AP=CQ

∠A=∠BCO

AO=CO

∴△AOP≌△COQ (SAS)

∴OP=OQ

∠AOP=∠COQ

∴∠POQ=∠COQ+∠COP

=∠AOP+∠COP

=∠AOC

=90°

∴△ POQ是等腰直角三角形

(2)、S=1/2CQ×CP

=1/2×t(4-t)

=1/2t²+2t

=-1/2(t-2)²+2

当t=2时,S取得最大值,最大值S=2

(3)、四边形PEQC是矩形

证明：连接OD

∵点D是PQ中点

∴CD=PD=DQ=1/2PQ

OD=PD=DQ=1/2PQ

∴CD=OD

∠DCO=∠DOC

∠CEO+∠DCO=90°

∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四边形PEQC是平行四边形

又∠ACB=90°

∴四边形PEQC是矩形

(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上,其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

点D运动的路径长=1/2AB=2√2