Question

一道有关亮灯标号的奥数题!一次科技游园会上,在游园的长廊里依次挂着标号是1,2,3,……,100的电灯泡,开始它们都是灭

Answer 1

按奇数次时,灯会亮.而一个数被按的次数是这个数的因子的个数.而一个数的因子个数是这个数的素因子的幂次加1的乘积,即：

如果 A = p1^n1 * p2^n2* ...* p_i^n_i,其中 p1,p2,...,p_i 是不同素数,n1 是 p1的幂次,等等； 则 A 的因子个数为：

（n1 + 1）*(n2 + 1)* ...*(n_i + 1)

回到原题,要使这因子个数为奇数,当且仅当 n1,n2,...,n_i 都是偶数,即 A 是完全平方数.所以亮的是 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.毕