Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

Answer 1

解题思路：（ I）由已知条件推导出AA₁⊥AC，AA₁垂直于交线AC，由此能证明AA₁⊥平面ABC．

（2）以A为原点，AC为x轴，A耿y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A₁到平面B₁BCC₁的距离．

（3）求出平面A₁BC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

（ I）证明：因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．

因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，

且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，

所以AA₁⊥平面ABC．

（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

∵AA₁C₁C是边长为4的正方形，

平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5，

∴AC⊥AB，

以A为原点，AC为x轴，A耿y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，

则A₁（0，0，4），C（4，0，0），B（0，3，0），C₁（4，0，4），A₁（0，0，4），

CA1=（4，0，-4），

CC1=（0，0，4），

CB=（-4，3，0），

设平面B₁BCC₁的法向量

n＝(x，y，z)，

则

n•

CC1＝4z＝0

n•

CB＝−4x+3y＝0，取x=3，得

n=（3，4，0），

∴点A₁到平面B₁BCC₁的距离d=

|

CA1•

n|

|

n|=

|12|

5=[12/5]．

（3）

A1C1=（4，0，0），

A1B=（0，3，-4），

设平面A₁BC₁的法向量

m＝(a，b，c)，

则

m•

A1C1＝4a＝0

m•

A1B＝3b−4c＝0，取b=4，得

m＝(0，4，3)，

设二面角A₁-BC₁-B₁的平面角为θ，

cosθ=|cos＜

n，

m＞|=|[16/5×5]|=[16/25]，

∴sinθ=

1−(

16

25)2=

3

41

25．

∴二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值为

3

41

25．

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．