已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证:

3个回答

  • 解题思路:(1)求出∠AEC=90°,根据三角形内角和定理求出∠ACE=45°=∠CAE即可;

    (2)求出AE=EC,∠EAH=∠BCE,∠AEH=∠CEB,证△EAH≌△ECB,推出AH=BC,根据等腰三角形性质得出BC=2BD,即可得出答案.

    证明:(1)∵CE是△ABC的高,

    ∴∠AEC=90°,

    ∵∠CAB=45°,

    ∴∠ACE=45°=∠CAE,

    ∴AE=EC.

    (2)∵AD,CE都是△ABC的高,

    ∴∠AEH=∠CEB=∠ADC=90°,

    ∵∠AHE=∠CHD,∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°,∠BCE+∠CHD+∠ADC=180°,

    ∴∠EAH=∠BCE,

    在△AEH和△CEB中,

    ∠AEH=∠CEB

    AE=EC

    ∠EAH=∠ECB,

    ∴△AEH≌△CEB(ASA),

    ∴AH=BC,

    ∵AB=AC,AD是△ABC的高,

    ∴BC=2BD,

    ∴AH=2BD.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题考查了等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的对应边相等,对应角相等.