函数y=(cosθ)x2-4(sinθ)x+6对任意实数x都有y>0,且θ是三角形的内角,则θ的取值范围是______

3个回答

  • 解题思路:因为cosθ>0,所以只要△<0,函数值恒为正.由△<0,得到三角函数不等式,再把正弦转化为余弦,解不等式,最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围.

    由题意得

    cosθ>0

    △=16sin2θ−24cosθ<0

    cosθ>0

    2(1−cos2θ)−3cosθ<0

    (2cosθ-1)(cosθ+2)>0,

    解得cosθ>

    1

    2,又因为0°<θ<180°

    所以θ的取值范围为0°<θ<60°.

    故答案为0°<θ<60°.

    点评:

    本题考点: 根的判别式;锐角三角函数的增减性.

    考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了锐角三角函数的性质,锐角的余弦随着角度的增大而减小;同角的正余弦的平方和为1.记住特殊角的三角函数值.