（1）略
（2）
因为OM平分AB,
所以AM=BM
又因为MO=MO
角AMO=角BMO
所以三角形AMO全等于三角形BMO
所以AO=BO
同理可证三角形ANO全等于三角形CNO
所以AO=CO
又因为AO=BO
所以AO=BO=CO
（3）
设BC的重点为点Q,连接OQ
则在三角形OBQ与三角形OCQ中
BO=CO
OQ=OQ
BQ=CQ
所以三角形OBQ全等于OCQ三角形
所以 角OQB等于角OQC
又因为 角OQB+角OQC=180度
所以角OQB=角OQC=90度
又因为OP平分BC
所以点O在BC的垂直平分线上