如图，已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 - 知识问答

如图，已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 ，棱长为4，E为面A 1 D 1 DA的中心，

1个回答

如图建立直角坐标系D₁-xyz，则E（2，0，2），B₁（4，4，0），H（1，0，4）
（1）
E B 1 =（2，4，-2），
HF =（-1，4，-3）
EH =（-1，0，2），设
n =（x，y，z）
n •
E B 1 =0
n •
HF =0 即
2x+4y-2z=0
-x+4y-3z=0
，取x=1，则z=-3，y=-2，
则
n =（1，-2，-3）
异面直线EB₁与HF之间的距离为
|
n •
EH |
|
n | =
|-1+0-6|
14 =
14
2
（2））
E B 1 =（2，4，-2），
E A 1 =（2，0，-2），
EH =（-1，0，2），
设平面HB₁E的法向量为
m 1 =（x，y，z）
则
m 1 •
EH =0
m 1 •
E B 1 =0 即
2x+4y-2z=0
2x-2z=0 取x=2，则y=
1
2 ，z=1．∴
m 1 =（2，
1
2 ，1）
令平面A₁B₁E的法向量为
m 2 =（x，y，z）
则
m 2 •
E B 1 =0
m 2 •
E A 1 =0
取x=1，y=0，z=1，则为
m 2 =（1，0，1）
∴|cos ＜
m 1 ，
m 2 ＞ |=
|
m 1 •
m 2 |
| m 1 |
| m 2 | =
42
7 ．
∵二面角H-B₁E-A为钝二面角．
∴二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值为 -
42
7 ．

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