已知关于x的不等式-x2+ax+b>0的解集为A={x|-1<x<3,x∈R}

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  • 解题思路:(1)根据题中条件:“x的不等式-x2+ax+b>0的解集为A={x|-1<x<3,x∈R}”得-1和3是相应方程的根,结合方程根的定义即可求得a值.

    (2)由(1)得:函数f(x)=lg(-x2+2x+3),x∈A={x|-1<x<3,x∈R}得出0<-x2+2x+3≤4,根据对于任意的x∈A,都有f(x)≤m成立,得出m要大于等于lg(-x2+2x+3)的最大值即可,从而m≥lg4,最后得出m最小的整数.

    (1)∵关于x的不等式-x2+ax+b>0的解集为A={x|-1<x<3,x∈R}

    ∴当x=-1或3时,-x2+ax+b>0,

    −1−a+b=0

    −9+3a+b=0

    ∴a=2,b=3.

    (2)由(1)得:函数f(x)=lg(-x2+2x+3),

    ∵x∈A={x|-1<x<3,x∈R}

    ∴0<-x2+2x+3≤4

    ∴lg(-x2+2x+3)≤lg4,

    从而m≥lg4,

    故最小的整数m=1.

    点评:

    本题考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题.

    考点点评: 本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.属于基础题.