解题思路:(1)根据题中条件:“x的不等式-x2+ax+b>0的解集为A={x|-1<x<3,x∈R}”得-1和3是相应方程的根,结合方程根的定义即可求得a值.
(2)由(1)得:函数f(x)=lg(-x2+2x+3),x∈A={x|-1<x<3,x∈R}得出0<-x2+2x+3≤4,根据对于任意的x∈A,都有f(x)≤m成立,得出m要大于等于lg(-x2+2x+3)的最大值即可,从而m≥lg4,最后得出m最小的整数.
(1)∵关于x的不等式-x2+ax+b>0的解集为A={x|-1<x<3,x∈R}
∴当x=-1或3时,-x2+ax+b>0,
即
−1−a+b=0
−9+3a+b=0
∴a=2,b=3.
(2)由(1)得:函数f(x)=lg(-x2+2x+3),
∵x∈A={x|-1<x<3,x∈R}
∴0<-x2+2x+3≤4
∴lg(-x2+2x+3)≤lg4,
从而m≥lg4,
故最小的整数m=1.
点评:
本题考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题.
考点点评: 本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.属于基础题.