Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}

Answer 1

A={2},即方程f(x)=x只有一个解,即

ax^2+(b-1)x+c=0只有一个解x=2,即

-(b-1)/a=x1+x2=4

c/a=x1x2=4

所以b=1-4a,c=4a

f（x）=ax^2+(1-4a)x+4a

对称轴为:（4a-1)/(2a)=2-1/(2a)≥2-1/2=3/2 (a≥1)

所以3/2≤（4a-1)/(2a)≤2,即

x=(4a-1)/(2a)时f（x）有最小值m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)

x=-2时f（x）有最大值M=4a-2（1-4a）+4a=16a-2

g(a)=M+m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)+16a-2 (a≥1)

=16a-1/(4a) (a≥1)

所以当a=1时,g（a）有最小值=63/4