Question

你能构造一个实际背景,对等式Cn^k*Cn-k^(n-k)=Cn^m*Cm^k的意义作出解释吗?

Answer 1

取多项式（x+1）^n,

考虑其展开式中x^k的系数

x^k需要k个x相乘

可以考虑在n个（x+1）中一次性取足k个（x+1）选x,剩下的n-k中（x+1）中全部选1

选取方法种数 x为Cn^k 1为Cn-k^(n-k) =1 总数Cn^k*Cn-k^(n-k)

其他取法,先在n个（x+1）中任取m个（x+1）,再m个（x+1）选k个x,出去选x其他全部选1

Cn^m Cm^k 总数Cn^m*Cm^k

由于展开式中x^k的系数的系数是固定的

∴Cn^k*Cn-k^(n-k)=Cn^m*Cm^k