Question

已知二次函数f（x）=x 2 +bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤

Answer 1

（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．

又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，

∴f（1）=0，

∴1+b+c=0，∴b+c=-1．

（2）证明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，

∴f（x）=x ²-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．

又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立

∴x-c≤0，即c≥x恒成立．

∴c≥3．

（3）∵f（sinα）=sin ²α-（1+c）sinα+c=（sinα-

1+c

2 ） ²+c-（

1+c

2 ） ²，

∵

1+c

2 ≥2

∴当sinα=-1时，f（sinα）的最大值为1-b+c．

由1-b+c=8与b+c=-1联立，

可得b=-4，c=3．

即b=-4，c=3．