Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1 =4．

Answer 1

（1）证明：在直三棱柱ABC-A ₁B ₁C ₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC ₁两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC ₁分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C ₁（0，0，4），B（0，4，0），B ₁（0，4，4）．

∵

AC =（-3，0，0），

B C 1 =（0，-4，4），∴

AC •

B C 1 =0，即

AC ⊥

B C 1 ，

∴AC⊥BC ₁．

（2）假设在AB上存在点D使得AC ₁∥ 平面CDB ₁，则

AD =λ

AB =（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），

B 1 D =（3-3λ，4λ-4，-4），

又

B 1 C =（0，-4，-4），

A C 1 =（-3，0，4），AC ₁∥ 平面CDB ₁，所以存在实数m，n，使

A C 1 =m

B 1 D +n

B 1 C 成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=

1

2 ，所以在AB上存在点D使得AC ₁∥ 平面CDB ₁，且D为AB的中点．