Question

设函数f（x）=x 3 -3ax 2 +3b 2 x

Answer 1

（1）当a=1，b=0时，f（x）=x ³-3x ²所以f（1）=-2 即切点为P（1，-2）

因为f′（x）=3x ²-6x所以 f′（1）=3-6=-3，

所以切线方程为y+2=-3（x-1）即y=-3x+1，

（2）f′（x）=3x ²-6ax+3b ²，

由于0＜a＜b，所以△=36a ²-36b ²=36（a+b）（a-b）＜0，

所以函数f（x）在R上单调递增

所以不等式f（

1-lnx

x-1 ）＞f（

k

x ）

⇔

1-lnx

x-1 ＞

k

x ⇔

(1-lnx)x

x-1 ＞k，对x∈（1，+∞）恒成立，

构造h（x）=

(1-lnx)x

x-1 ，h′（x）=

(2+lnx)(x-1)-(x+xlnx)

(x-1 ) 2 =

x-lnx-2

(x-1 ) 2

构造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=1-

1

x =

x-1

x ，

对x∈（1，+∞），g′（x）=

x-1

x ＞0 所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）递增，

g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，

所以∃x ₀∈（3，4），g（x ₂）=x ₀-lnx ₀-2=0，

所以x∈（1，x ₀），g（x）＜0，h（x）＜0，

所以，所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1 在（1，x ₂）递减

x∈（x ₀，+∞），g（x）＞0，h（x）＞0，

所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1 在（x ₀，+∞）递增

所以，h（x） _min=h（x ₀）=

(1+l nx 0 ) x 0

x 0 -1 结合

g（x ₀）=x ₀-lnx ₀-2=0得到，

h（x） _min=h（x ₀）=

(1+ln x 0 ) x 0

x 0 -1 =x ₀∈（3，4）

所以k＜

(1+lnx)x

x-1 对x∈（1，+∞）恒成立⇔k＜h（x） _min，

所以k≤3，整数k的最大值为3；