解题思路:设两个实数数x1、x2∈R,且x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差变形整理,再讨论得f(x1)<f(x2),由此即可得到
f(x)=a−
2
2
x
+1
在区间(0,2)上为减函数.
证明:设x1,x2∈R,x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(a−
2
2x1+1)−(a−
2
2x2+1)-------------(2分)
=
2
2x2+1−
2
2x1+1=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1),-----------------(4分)
∵指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,
∴2x1<2x2,可得2x1−2x2<0,---------------------(6分)
又∵2x>0,得2x1+1>0,2x2+1>0,--------------(8分)
∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),
由此可得,对于任意a,f(x)在R上为增函数.----------(10分)
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数,考查了用定义证明函数单调性的知识,属于基础题.